MÈTODOS
Métodos de Lagrange & Kuhn Tucker
Integrantes:Diaz, Antonio
Cumares, Yugelin
Rincón, Yureudy
Vera, Humberto
CONTENIDO
MÈTODO LAGRANGE
· *Definición
· * Características
· *Objetivos
· *Identificación
· *Ayuda que brinda
· *Campos de aplicación
KUHN TUCKER
*Definicion
*Importancia
*Ccampo de Aplicaciòn
*Optimizaciòn en la Toma de Decisiones
MÉTODO LAGRANGE
El método lagrangian (también conocido
como multiplicadores lagrangian) lo propuso Joseph Louis Lagrange (1736-1813),
un matemático nacido en Italia. Sus multiplicadores lagrangian tienen
aplicaciones en una variedad de campos, incluyendo el físico, astronomía y
económica.
DEFINICIÓN
Método para
trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o
minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones.
Este método
reduce el problema restringido en n variables en uno sin
restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas.
CARACTERÍSTICAS
· * El
método de eliminación de variables no resulta operativo cuando el problema tiene
muchas restricciones o las restricciones son complejas.
· *Se
utilizará un método alternativo que además proporciona más información sobre el
problema (método de los multiplicadores de Lagrange).
· *Todos
los óptimos que verifiquen las condiciones de regularidad establecidas tienen
asociados los correspondientes multiplicadores.
· *El
teorema de Lagrange establece una condición necesaria de optimalidad (bajo las condiciones
de regularidad).
OBJETIVOS
- Visualizar
algunas superficies cuádricas y curvas de nivel para distintos valores de
la variable z.
- Identificar,
a través de los simuladores, los puntos (x,y) sobre la curva
correspondiente a la función restricción donde la función principal tiene
extremos.
- Interpretar
gráficamente los resultados obtenidos empleando el método de
multiplicadores de Lagrange.
- Aproximar
las soluciones del problema a partir de la observación en el simulador, de
las curvas de nivel de la función principal y la curva correspondiente a
la función condicionante.
- Adquirir
habilidad en la resolución de problemas de optimización en un ambiente
computacional.
IDENTIFICACIÓN
El multiplicador lagrangian,
representado en la ecuación por la letra minúscula griega lambda (?),
representa la tasa de cambio en la utilidad relativa al cambio en la
restricción de presupuesto. En economía, esto se conoce como el valor o
utilidad marginal, el aumento en la utilidad ganada de un aumento en
la restricción de presupuesto.
AYUDAS QUE BRINDA
§ Para la Solución
de Problemas de Optimización Dinámica: La resolución de un problema
de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de
ecuaciones. Usando una base monómica estándar para el polinomio interpolador, se llega a la matriz de
Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, se llega a la
forma más simple de matriz identidad = δi que puede resolverse inmediatamente.
§ Multiplicadores de
Langrange: Llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es
un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de varias
variables sujetas a restricciones
CAMPO DE APLICACIÓN
El método lagrangian aplica cálculo
diferencial, implicando el cálculo de derivadas parciales, hasta temas de
optimización restringida. El propietario de un negocio, por ejemplo, puede
utilizar esta técnica para maximizar el beneficio o minimizar los
costos dados que el negocio tiene sólo una cierta cantidad de dinero que
invertir. Un consumidor hipotético, que, por ejemplo, deriva la utilidad de
coleccionar libros y CDx, podría utilizar este método para determinar la forma
de obtener el número óptimo de libros y CDs, dado que sólo tiene US$100 de
ingresos disponibles para gastar.
Existen en todas las ramas de la
ciencia, en la Física, en la Matemática, en la Química, en la Astronomía, en
Biología, etc. Situaciones en las que conociendo un conjunto de datos
experimentales en un cierto intervalo de la variable independiente, esto es,
conociendo una cierta cantidad de datos tabulados, se hace preciso encontrar
una función que verifique todos esos datos y permita, por consiguiente,
predecir la existencia de otros valores con la aproximación adecuada. El método
de la interpolación de Lagrange es de gran importancia en el análisis numérico.
KUHN TUCKER
En las condiciones de Kuhn-Tucker la restricción es
siempre expresada como más grande o igual que cero. Esto significa que a
diferencia de las restricciones de igualdad que son establecidas igual a cero,
el orden de la sustracción es importante en programación cóncava.
DEFINICIÓN
Un ejercicio interesante consiste
en determinar las condiciones de Kuhn-Tucker para el caso en que, además de las
restricciones del problema que ligan entre sí los valores de ciertas variables,
existan unas restricciones específicas sobre los valores de cada una de las variables,
independientemente de las demás. Tal es el caso, por ejemplo, de que existan restricciones
de positividad sobre las variables, como ocurre frecuentemente en las aplicaciones
de tipo económico.
IMPORTANCIA
La importancia de este teorema
radica en que nos dice que podemos asociar una función de utilidad a unas
preferencias, esto nos abre la puerta de la potente herramienta del análisis
matemático al estudio del comportamiento del consumidor.
CAMPO
DE APLICACIÓN
Básicamente el procedimiento
consiste en resolver el problema no lineal como uno sin restricciones, luego si
la solución óptima de dicho problema no cumple la totalidad o parte de las
restricciones del problema se activan dichas restricciones (en conjunto y/o
secuencialmente) y se resuelve nuevamente. Esto se repite hasta llegar a un
conjunto de restricciones activas cuya solución también satisface las
restricciones omitidas. Notar que si se han activado la totalidad de
restricciones sin encontrar una solución factible, entonces el problema es infectable.
Esta característica particular de los modelos no lineales permite abordar
problemas donde existen economías o de economías de escala o en general donde
los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen.
OPTIMIZACIÒN EN LA TOMA DE DECISIONES
Una
de las características del ser humano es su capacidad para tomar decisiones, lo
que incluye, básicamente, su capacidad para analizar las alternativas y
evaluarlas en términos de su comportamiento respecto de los objetivos que desea
conseguir. Es una actividad tan cotidiana que prácticamente no le prestamos
atención. En muchos casos hemos ‘automatizado’ ese proceso de toma de decisiones
como fruto de la experiencia. Sin embargo, cuando el problema al que nos
enfrentamos es muy complejo, hay muchas alternativas posibles, y son graves sus
consecuencias, por lo que resulta difícil realizar este proceso de análisis y
evaluación.
Los
problemas que surgen en las grandes organizaciones, tanto en el sector privado
como en el público, son tan complejos que no pueden resolverse usando
exclusivamente sentido común y experiencia práctica. Se deben tomar decisiones
sobre la manera ‘óptima’ de usar los recursos disponibles, generalmente
escasos, para lograr unos ciertos objetivos. La Investigación Operativa
proporciona modelos y técnicas para abordar estos problemas, que permiten
comprender los sistemas reales y, en general, facilitan información sobre la
decisión o el conjunto de decisiones más adecuado de acuerdo con los objetivos
establecidos y el impacto que pueden tener sobre el funcionamiento del sistema
como un todo.
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