viernes, 23 de noviembre de 2012

Optimizaciòn de Sistemas y Funciones

MÈTODOS



Métodos de Lagrange & Kuhn Tucker

Integrantes:
Diaz, Antonio 
Cumares, Yugelin 
Rincón, Yureudy 
Vera, Humberto 


CONTENIDO
MÈTODO LAGRANGE
· *Definición
· * Características
· *Objetivos
· *Identificación
· *Ayuda que brinda
· *Campos de aplicación

     KUHN TUCKER

   *Definicion
   *Importancia
   *Ccampo de Aplicaciòn
   *Optimizaciòn en la Toma de Decisiones



MÉTODO LAGRANGE

El método lagrangian (también conocido como multiplicadores lagrangian) lo propuso Joseph Louis Lagrange (1736-1813), un matemático nacido en Italia. Sus multiplicadores lagrangian tienen aplicaciones en una variedad de campos, incluyendo el físico, astronomía y económica.




DEFINICIÓN
Método para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones.
Este método reduce el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas.

CARACTERÍSTICAS
·      * El método de eliminación de variables no resulta operativo cuando el problema tiene muchas restricciones o las restricciones son complejas.
·     *Se utilizará un método alternativo que además proporciona más información sobre el problema (método de los multiplicadores de Lagrange).
·  *Todos los óptimos que verifiquen las condiciones de regularidad establecidas tienen asociados los correspondientes multiplicadores.
·  *El teorema de Lagrange establece una condición necesaria de optimalidad (bajo las condiciones de regularidad).

OBJETIVOS
  • Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas de nivel para distintos valores de la variable z.
  • Identificar, a través de los simuladores, los puntos (x,y) sobre la curva correspondiente a la función restricción donde la función principal tiene extremos.
  • Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando el método de multiplicadores de Lagrange.
  • Aproximar las soluciones del problema a partir de la observación en el simulador, de las curvas de nivel de la función principal y la curva correspondiente a la función condicionante.
  • Adquirir habilidad en la resolución de problemas de optimización en un ambiente computacional.
IDENTIFICACIÓN
El multiplicador lagrangian, representado en la ecuación por la letra minúscula griega lambda (?), representa la tasa de cambio en la utilidad relativa al cambio en la restricción de presupuesto. En economía, esto se conoce como el valor o utilidad marginal, el aumento en la utilidad ganada de un aumento en la restricción de presupuesto.

AYUDAS QUE BRINDA

§  Para la Solución de Problemas de Optimización Dinámica: La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones. Usando una base monómica estándar para el polinomio interpolador, se llega a la matriz de Vandermonde. Eligiendo una base distinta, la base de Lagrange, se llega a la forma más simple de matriz identidad = δi que puede resolverse inmediatamente.
§  Multiplicadores de Langrange: Llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones

CAMPO DE APLICACIÓN

El método lagrangian aplica cálculo diferencial, implicando el cálculo de derivadas parciales, hasta temas de optimización restringida. El propietario de un negocio, por ejemplo, puede utilizar esta técnica para maximizar el beneficio o minimizar los costos dados que el negocio tiene sólo una cierta cantidad de dinero que invertir. Un consumidor hipotético, que, por ejemplo, deriva la utilidad de coleccionar libros y CDx, podría utilizar este método para determinar la forma de obtener el número óptimo de libros y CDs, dado que sólo tiene US$100 de ingresos disponibles para gastar.
Existen en todas las ramas de la ciencia, en la Física, en la Matemática, en la Química, en la Astronomía, en Biología, etc. Situaciones en las que conociendo un conjunto de datos experimentales en un cierto intervalo de la variable independiente, esto es, conociendo una cierta cantidad de datos tabulados, se hace preciso encontrar una función que verifique todos esos datos y permita, por consiguiente, predecir la existencia de otros valores con la aproximación adecuada. El método de la interpolación de Lagrange es de gran importancia en el análisis numérico.


KUHN TUCKER


En las condiciones de Kuhn-Tucker la restricción es siempre expresada como más grande o igual que cero. Esto significa que a diferencia de las restricciones de igualdad que son establecidas igual a cero, el orden de la sustracción es importante en programación cóncava.
DEFINICIÓN
Un ejercicio interesante consiste en determinar las condiciones de Kuhn-Tucker para el caso en que, además de las restricciones del problema que ligan entre sí los valores de ciertas variables, existan unas restricciones específicas sobre los valores de cada una de las variables, independientemente de las demás. Tal es el caso, por ejemplo, de que existan restricciones de positividad sobre las variables, como ocurre frecuentemente en las aplicaciones de tipo económico. 



IMPORTANCIA
La importancia de este teorema radica en que nos dice que podemos asociar una función de utilidad a unas preferencias, esto nos abre la puerta de la potente herramienta del análisis matemático al estudio del comportamiento del consumidor.

CAMPO DE APLICACIÓN
Básicamente el procedimiento consiste en resolver el problema no lineal como uno sin restricciones, luego si la solución óptima de dicho problema no cumple la totalidad o parte de las restricciones del problema se activan dichas restricciones (en conjunto y/o secuencialmente) y se resuelve nuevamente. Esto se repite hasta llegar a un conjunto de restricciones activas cuya solución también satisface las restricciones omitidas. Notar que si se han activado la totalidad de restricciones sin encontrar una solución factible, entonces el problema es infectable. Esta característica particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde existen economías o de economías de escala o en general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen.

OPTIMIZACIÒN EN LA TOMA DE DECISIONES

Una de las características del ser humano es su capacidad para tomar decisiones, lo que incluye, básicamente, su capacidad para analizar las alternativas y evaluarlas en términos de su comportamiento respecto de los objetivos que desea conseguir. Es una actividad tan cotidiana que prácticamente no le prestamos atención. En muchos casos hemos ‘automatizado’ ese proceso de toma de decisiones como fruto de la experiencia. Sin embargo, cuando el problema al que nos enfrentamos es muy complejo, hay muchas alternativas posibles, y son graves sus consecuencias, por lo que resulta difícil realizar este proceso de análisis y evaluación.

Los problemas que surgen en las grandes organizaciones, tanto en el sector privado como en el público, son tan complejos que no pueden resolverse usando exclusivamente sentido común y experiencia práctica. Se deben tomar decisiones sobre la manera ‘óptima’ de usar los recursos disponibles, generalmente escasos, para lograr unos ciertos objetivos. La Investigación Operativa proporciona modelos y técnicas para abordar estos problemas, que permiten comprender los sistemas reales y, en general, facilitan información sobre la decisión o el conjunto de decisiones más adecuado de acuerdo con los objetivos establecidos y el impacto que pueden tener sobre el funcionamiento del sistema como un todo.

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